Studio di funzioni

Studiare una funzione, passo per passo

Lo studio di funzione è un percorso ordinato che parte da una formula y = f(x) e arriva al suo grafico qualitativo. In questa app trovi una sezione per ogni passo del procedimento, con un riepilogo teorico ed esempi su tutti i principali tipi di funzione:

algebriche: razionali intere (polinomi), razionali fratte, irrazionali
trascendenti: goniometriche, esponenziali, logaritmiche

Per ogni argomento ci sono due quiz da 20 domande: uno di teoria e uno di calcolo, con barra di avanzamento, feedback immediato e revisione finale delle risposte.

💡 Consiglio: studia la teoria, prova il quiz di teoria per verificare la comprensione, poi affronta il quiz di calcolo per allenarti.

🏷️ I tipi di funzione

Le funzioni reali si dividono in due grandi famiglie. Le funzioni algebriche si ottengono dalla variabile x mediante un numero finito di somme, prodotti, quozienti, potenze ed estrazioni di radice. Le funzioni trascendenti non sono algebriche: comprendono goniometriche, esponenziali e logaritmiche.

Funzioni algebriche

Razionali intere (polinomi)

La variabile compare solo in somme, prodotti e potenze a esponente naturale:

f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀

Esempi: f(x) = 3x² − 5x + 1; g(x) = x⁴ − 2; h(x) = 7 (costante, grado 0).

Razionali fratte

Sono il rapporto di due polinomi, con denominatore non costante:

f(x) = P(x) / Q(x), con grado di Q ≥ 1

Esempi: f(x) = (x²−1)/(x+3); g(x) = 1/x; h(x) = (2x+1)/(x²−4).

Irrazionali

Contengono radici della variabile (o di espressioni in x):

f(x) = ⁿ√A(x), con n ∈ ℕ, n ≥ 2

Esempi: f(x) = √(x²−4) (indice 2, pari); g(x) = ∛(x+1) (indice 3, dispari); h(x) = √x / (x−1).

Funzioni trascendenti

Goniometriche

Sono costruite con le funzioni circolari seno, coseno e tangente. sin x e cos x sono periodiche di periodo 2π; tan x ha periodo π.

tan x = sin x / cos x

Esempi: f(x) = sin x; g(x) = cos(2x) − 1; h(x) = tan x.

Esponenziali

La variabile compare all'esponente di una potenza a base costante:

f(x) = aˣ, con a > 0 e a ≠ 1

La base più importante è il numero di Nepero e ≈ 2,718. L'esponenziale è crescente se a > 1, decrescente se 0 < a < 1.

Esempi: f(x) = 2ˣ; g(x) = eˣ; h(x) = (1/2)ˣ.

Logaritmiche

Sono le inverse delle funzioni esponenziali:

f(x) = log_a x, con a > 0 e a ≠ 1

Il logaritmo in base e si indica con ln (logaritmo naturale).

Esempi: f(x) = log₂ x; g(x) = ln x; h(x) = log(x − 1).

⚠️ Attenzione: una costante irrazionale come √2 non rende irrazionale la funzione; e 3ˣ (esponenziale) è ben diverso da x³ (potenza, razionale intera). Conta dove compare la variabile.

📌 Riconoscere il tipo di funzione è il primo passo: orienta tutte le scelte successive, dal calcolo del dominio fino allo studio della derivata.

📐 Dominio della funzione

Il dominio (o campo di esistenza) di una funzione è l'insieme dei numeri reali per cui l'espressione f(x) ha senso. Si ricava imponendo le condizioni di esistenza per ciascuna operazione presente.

Razionali intere

Dom f = ℝ

I polinomi sono definiti per ogni numero reale.

Razionali fratte

Il denominatore non deve annullarsi:

Dom f = { x ∈ ℝ : Q(x) ≠ 0 }

Es. f(x) = (x+1)/(x²−4) ⇒ x²−4 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±2; Dom = ℝ ∖ {−2, 2}.

Irrazionali con indice pari

Il radicando deve essere ≥ 0:

f(x) = √A(x) ⇒ A(x) ≥ 0

Es. f(x) = √(x²−4) ⇒ x²−4 ≥ 0 ⇒ x ≤ −2 ∨ x ≥ 2.

Irrazionali con indice dispari

Nessuna condizione sul radicando: Dom = dominio del radicando.

Funzioni trascendenti e dominio

Esponenziale aˣ: definita su tutto ℝ. Per aᵍ⁽ˣ⁾ il dominio coincide con quello dell'esponente g(x).
Logaritmica log_a A(x): l'argomento deve essere strettamente positivo, A(x) > 0.
Goniometriche: sin x e cos x sono definite su ℝ; tan x non è definita dove cos x = 0, cioè per x = π/2 + kπ.

f(x) = log_a A(x) ⇒ A(x) > 0

Es. f(x) = ln(x − 3) ⇒ x − 3 > 0 ⇒ Dom = (3, +∞).

Funzioni miste

Si impongono tutte le condizioni contemporaneamente, formando un sistema.

Es. f(x) = √(x−1)/(x−3) ⇒ {x − 1 ≥ 0 e x − 3 ≠ 0} ⇒ x ≥ 1 ∧ x ≠ 3 ⇒ [1, 3) ∪ (3, +∞).

📌 Il dominio si scrive sempre come unione di intervalli, oppure come ℝ tolti alcuni punti.

🪞 Simmetrie della funzione

Lo studio delle simmetrie si fa solo se il dominio è simmetrico rispetto allo zero: ovvero se x ∈ Dom ⇒ −x ∈ Dom. In caso contrario, la verifica f(−x) = f(x) o f(−x) = −f(x) non può essere applicata a tutto il dominio.

Funzione pari

Simmetrica rispetto all'asse y:

f(−x) = f(x) ∀ x ∈ Dom

Es. f(x) = x² + 1 ⇒ f(−x) = (−x)² + 1 = x² + 1 = f(x). Pari.

Funzione dispari

Simmetrica rispetto all'origine:

f(−x) = −f(x) ∀ x ∈ Dom

Es. f(x) = x³ − x ⇒ f(−x) = −x³ + x = −(x³ − x) = −f(x). Dispari.

Regola rapida per i polinomi

Solo potenze pari di x (incluso il termine noto) ⇒ pari
Solo potenze dispari di x (e termine noto = 0) ⇒ dispari
Mix di potenze pari e dispari ⇒ né pari né dispari

Simmetrie delle funzioni trascendenti

sin x è dispari: sin(−x) = −sin x.
cos x è pari: cos(−x) = cos x.
tan x è dispari: tan(−x) = −tan x.
Esponenziale aˣ è né pari né dispari: essendo sempre positiva non può coincidere con −f(x).
Per log_a x le simmetrie non si studiano: il dominio (0, +∞) non è simmetrico rispetto a 0.

📌 Se la funzione è pari o dispari, è sufficiente studiarla per x ≥ 0 e poi simmetrizzare il grafico — risparmio di lavoro.

✖️ Intersezioni con gli assi

Le intersezioni del grafico con gli assi cartesiani si trovano con due semplici procedimenti.

Intersezione con l'asse y

Si pone x = 0 e si calcola f(0), se 0 appartiene al dominio:

y₀ = f(0) ⇒ punto (0, f(0))

L'intersezione con l'asse y è al più una (per la definizione di funzione).

Es. f(x) = (x−3)/(x+1) ⇒ f(0) = −3/1 = −3 ⇒ (0, −3).

Intersezioni con l'asse x (zeri della funzione)

Si pone y = 0 e si risolve l'equazione f(x) = 0:

f(x) = 0 ⇒ punti (x₀, 0) con x₀ ∈ Dom

Es. f(x) = x² − 4 ⇒ x² − 4 = 0 ⇒ x = ±2 ⇒ (−2, 0), (2, 0).

Casi particolari (funzioni algebriche)

Razionali fratte: P(x)/Q(x) = 0 ⇔ P(x) = 0 ∧ Q(x) ≠ 0.
Irrazionali pari: √A(x) = 0 ⇔ A(x) = 0.

Intersezioni delle funzioni trascendenti

Esponenziale aˣ: interseca l'asse y in (0, 1), perché a⁰ = 1; non ha zeri, perché aˣ > 0 per ogni x.
Logaritmica log_a x: ha uno zero in x = 1 (log_a 1 = 0); non interseca l'asse y, perché 0 non appartiene al dominio.
sin x: zeri in x = kπ; interseca l'asse y in (0, 0).
cos x: zeri in x = π/2 + kπ; interseca l'asse y in (0, 1).

📌 Gli zeri della funzione coincidono con le intersezioni con l'asse x e sono fondamentali per lo studio del segno.

± Studio del segno di f(x)

Studiare il segno significa stabilire dove f(x) > 0 (grafico sopra l'asse x) e dove f(x) < 0 (grafico sotto). Si lavora sempre all'interno del dominio.

Razionali intere

Si risolve la disequazione f(x) ≥ 0.

Es. f(x) = x² − 4. x² − 4 ≥ 0 ⇒ x ≤ −2 ∨ x ≥ 2. Negativa per −2 < x < 2.

Razionali fratte

Si studia separatamente il segno di numeratore e denominatore e si applica la regola dei segni:

P(x)	Q(x)	f(x) = P/Q
+	+	+
−	−	+
+	−	−
−	+	−

Es. f(x) = (x−1)/(x+2). N ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; D > 0 ⇔ x > −2. Quindi f > 0 per x < −2 ∨ x > 1.

Irrazionali

Indice pari: la radice è sempre ≥ 0 nel suo dominio.
Indice dispari: ha lo stesso segno del radicando.

Segno delle funzioni trascendenti

Esponenziale aˣ: sempre positiva (aˣ > 0), non ha zeri.
Logaritmica log_a x con a > 1: positiva per x > 1, negativa per 0 < x < 1, nulla in x = 1.
sin x: positiva in (0, π) e nei suoi traslati di 2π.
cos x: positiva in (−π/2, π/2) e nei suoi traslati di 2π.

📌 Costruire una tabella dei segni con una linea per ciascun fattore e una riga finale per f(x) rende lo studio meccanico e poco soggetto a errori.

∞ Limiti, asintoti e discontinuità

I limiti agli estremi del dominio mostrano il comportamento del grafico verso valori molto grandi o vicini ai punti esclusi. Da questi si ricavano gli asintoti e si classificano i punti di discontinuità.

Asintoto orizzontale

lim_x→±∞ f(x) = L (finito) ⇒ y = L asintoto orizzontale

Es. f(x) = (2x+1)/(x−3). lim_x→±∞ f(x) = 2 ⇒ y = 2 asintoto orizzontale.

Asintoto verticale

lim_x→x₀ f(x) = ±∞ ⇒ x = x₀ asintoto verticale

Es. f(x) = 1/(x−2). lim_x→2⁺ = +∞, lim_x→2⁻ = −∞ ⇒ x = 2 asintoto verticale.

Asintoto obliquo

Esiste solo se non c'è asintoto orizzontale da quel lato:

m = lim_x→±∞ f(x)/x · q = lim_x→±∞ (f(x) − mx)

⚠️ Per le razionali fratte c'è asintoto obliquo solo quando grado(P) = grado(Q) + 1.

Classificazione dei punti di discontinuità

I specie (salto): limiti laterali finiti e diversi.
II specie: almeno un limite laterale infinito o non esistente.
III specie (eliminabile): limiti laterali finiti e uguali, ma f(x₀) non definita o diversa dal limite.

Limiti notevoli delle funzioni trascendenti

Esponenziale: lim_x→+∞ eˣ = +∞; lim_x→−∞ eˣ = 0 ⇒ asintoto orizzontale y = 0 a −∞.
Logaritmica: lim_x→0⁺ ln x = −∞ ⇒ asintoto verticale x = 0; lim_x→+∞ ln x = +∞.
tan x: ha asintoti verticali in x = π/2 + kπ.
sin x e cos x: non hanno limite per x → ±∞ (oscillano).

📌 Per x → +∞ l'esponenziale eˣ cresce più rapidamente di qualsiasi potenza xⁿ; a sua volta xⁿ cresce più del logaritmo ln x.

📈 Derivata prima: monotonia ed estremi

La derivata prima f'(x) misura la pendenza della retta tangente al grafico nel punto (x, f(x)). Permette di stabilire dove f cresce, dove decresce e dove ha massimi, minimi o flessi a tangente orizzontale.

Definizione

f'(x₀) = lim_h→0 [f(x₀+h) − f(x₀)] / h

Derivate notevoli

f(x)	f'(x)	f(x)	f'(x)
k	0	sin x	cos x
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	cos x	−sin x
√x	1/(2√x)	tan x	1/cos²x
eˣ	eˣ	ln x	1/x
aˣ	aˣ·ln a	log_a x	1/(x·ln a)

Regole di derivazione

Somma: (f ± g)' = f' ± g'
Prodotto: (f·g)' = f'·g + f·g'
Quoziente: (f/g)' = (f'·g − f·g')/g²
Funzione composta: [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)

Monotonia

f'(x) > 0 in I ⇒ f crescente · f'(x) < 0 in I ⇒ f decrescente

Punti stazionari ed estremi

I punti stazionari sono soluzioni di f'(x) = 0. Per classificarli si studia il segno di f' attorno al punto:

f' passa da + a −: massimo relativo
f' passa da − a +: minimo relativo
f' non cambia segno: flesso a tangente orizzontale

Es. f(x) = x³ − 3x. f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1. f' è + per |x|>1, − per |x|<1: x = −1 massimo, x = 1 minimo.

Es. flesso: f(x) = x³. f'(x) = 3x² ≥ 0, si annulla in x = 0 senza cambiare segno ⇒ flesso a tangente orizzontale in (0, 0).

📌 Una funzione notevole: eˣ coincide con la propria derivata, D(eˣ) = eˣ.